1)

PABC = AB + BC + AC
12 + 14 + 7 = 33
P = 33սմ
PMNK = MN + NK + MK
3 + 20 + 18 = 41
PMNK = 41սմ
41 – 33 = 8
PABC <PMNK

2)

52 – 7 = 45
45 : 3 = 15
15 + 7 = 22

3)

7 + 5 + 3 = 15
120 : 15 = 8
8 x 7 = 56
8 x 5 = 40
8 x 3 = 24

4)

30 : 6 = 5
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
P = 15 + 20 + 30 = 65
P = 65դմ

5)

P = AB + BC + AC
10 + 5 + 13 = 28
P = 28սմ

6)

Քանի որ AB = BC
AB = 2AC, ապա
PABC = 2AC + 2AC + AC = 5AC
5AC = 55
AC = 11
2AC = 22

7)

2 + 4 + 5 = 11
66 : 11 = 6
6 x 2 = 12
6 x 4 = 24
6 x 5 = 30

8)Նկարում OA = OD, OB = OC, <1 = 74o, <2 = 36o ։

ա)Ապացուցեք, որ AOB և DOC եռանկյունները հավասար են
Քանի որ АО = OD, BO = OC, <BOA = <DOC, ապա եռ․AOB = եռ․DOC: Ըստ եռանկյան հավասարության առաջին հայտանիշի։

բ)Գտեք <ACD-ն
<B = <D = 74
<A = 180 – (<B + <BCA) = 180 – (74 + 36) = 70

 

1.Եռանկյան պարագիծ ասելով ի՞նչ ես հասկանում, պարագիծը ի՞նչ տառով են նշանակում։
Եռանկյան պարագիծը եռանկյան բոլոր կողմերի գումարն է, որը նշանակում են P տառով։

2. GEOGEBRA ծրագրով գծիր որևէ եռանկյուն, հաշվիր պարագիծը։ (Կողմերի երկարությունները ինքդ որոշիր)։

AB = 7
BC = 10
AC = 8
P = AB + BC + AC
7 + 10 + 8 = 25
P = 25

3. ABC և MNK եռանկյունները հավասար են։ ABC եռանկյան պարագիծը 65սմ է։ Ինչի՞ է հավասար MNK եռանկյան պարագիծը։

Քանի որ ABC-ն հավասար է MNK-ին, ապա MNK-ի պարագիծը հավասար կլինի 65սմ։

4. Նայելով նկարին, փորձիր ցույց տալ, որ եռանկյուն ABC-ն հավասար է եռանկյուն ACD-ին։

AC կողմը ընդհանուր է։ <BAC = <ACD => եռ․ABC = եռ․ADC ըստ եռանկյան հավասարության առաջին հայտանիշի։

5. ABC և MNK հավասար եռանկյուններում <A=<M, <B=<N , <C=<K։ Եռանկյուն ABC և եռանկյուն MNK ո՞ր կողմերն են համապատասխանաբար հավասար։

 AB = MN
BC = NK
AC = MK

6. ABC և MNK հավասար եռանկյուններում AB=MN, BC=NK, AC=MK: Եռանկյուն ABC և եռանկյուն MNK ո՞ր անկյուններն են համապատասխանաբար հավասար։
AB = MN
BC = NK
AC = MK

7. Եռանկյան կողմերի երկարությունները հարաբերում են ինչպես 5:12:13, իսկ փոքր կողմը 10 սմ է: Գտեք եռանկյան պարագիծը:

 

8. AC և BD հատվածները հատվում և հատման կետում կիսվում են: Ապացուցեք, որ ΔABC=ΔACD:

 

9.Նայելով նկարին ցույց տուր, որ ΔABD=ΔBDC:

10. Ունենալով տարբեր երկարությամբ երեք փայտիկներ, ի՞նչ ես կարծում, միշտ է հնարավոր այդ փայտիկներով պատրատել եռանկյուն։ Փայտիկները կոտրել չի թույլատրվում։

Եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի միջնակետի հետ միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջնագիծ:

Ուստի միջնագծի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները:

1. Գտնել կողմի միջնակետը:

2. Միացնել այդ միջնակետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան միջնագիծը:

Եռանկյունն ունի երեք կողմ, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք միջնագիծ:

Բոլոր միջնագծերը հատվում են նույն կետում:

Եռանկյան կիսորդ կոչվում է եռանկյան անկյան կիսորդի վրա գտնվող այն հատվածը, որը միացնում է եռանկյան գագաթը հանդիպակաց կողմի վրա գտնվող կետի հետ:

Ուստի, կիսորդի կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողությունները՝

1. Կառուցել եռանկյան որևէ անկյան կիսորդը (անկյան կիսորդը անկյան գագաթից դուրս եկող ճառագայթ է, որը կիսում է անկյունը):
2. Գտնել անկյան կիսորդի հատման կետը հանդիպակաց կողմի հետ:
3. Միացնել գտնված կետը հանդիպակաց գագաթի հետ: Հենց դա կլինի եռանկյան կիսորդը:

Եռանկյունն ունի երեք անկյուն, հետևաբար՝ կարելի է կառուցել երեք կիսորդ:

Եռանկյան բոլոր կիսորդները հատվում են նույն կետում:

Եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղղին տարված ուղղահայացը կոչվում է եռանկյան բարձրություն:

Ուստի, բարձրության կառուցման համար պետք է կատարել հետևյալ գործողություները՝

1. Տանել եռանկյան կողմը պարունակող ուղիղը (կարևոր է այն դեպքում, եթե բարձրությունն իջեցնում ենք բութանկյուն եռանկյան սուր անկյունից):

2. Տարված ուղղի հանդիպակաց գագաթից իջեցնենք ուղղահայաց այդ ուղղին (ուղղահայացը եռանկյան գագաթից տարված հատված է, որը կազմում է հանդիպակաց կողմի հետ 90°-ի անկյուն): Հենց դա կլինի եռանկյան բարձրությունը:

Միջնագծերի և կիսորդների պես եռանկյունն ունի երեք բարձրություն:

Եռանկյան բոլոր բարձրությունները հատվում են նույն կետում:

Որոշ եռանկյունների համար բարձրությունների կառուցումը և դրանց հատման կետերի դիրքերը տարբերվում են:

Ուղիղ անկյուն ունեցող եռանկյան մեջ ուղիղ անկյուն առաջացնող կողմերը եռանկյան բարձրություններն են, քանի որ դրանք փոխուղղահայաց են: Այս դեպքում բարձրությունների հատման կետը փոխուղղահայաց կողմերի ընդհանուր գագաթն է:

Եթե եռանկյունն ունի բութ անկյուն, ապա սուր անկյուններից իջեցված բարձրությունները դուրս են գալիս եռանկյունից՝ դեպի շարունակված կողմերը: Բարձրությունները պարունակող ուղիղներն այս դեպքում հատվում են եռանկյունից դուրս:

Առաջադրանքներ․

1)Գծե՛ք սուրանկյուն,ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ, տարեք միջնագծերը։



2)Գծե՛ք սուրանկյուն,ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ, տարեք կիսորդները։

3)Գծե՛ք սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ, տարեք բարձրությունները։

4)A և C կետերը գտնվում են a ուղղի միևնույն կողմում: a ուղղին  տարված AB և CD ուղղահայացները հավասար են:

ա)Ապացուցեք, որ Δ ABD=Δ CDB-ին։
Ըստ եռանկյան հավասարության առաջին հայտանիշի, եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանցով կազմված անկյունը համապատասխանաբար հավասար է մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանցով կազմված անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։
Այս դեպքում AB = CD, BD կողմը ընդհանուր է, և քանի որ AB = CD ուղղահայաց են a ուղղին, հետևաբար ABD և CDB անկյունները հավասար են 90 աստիճանի։ Այստեղից հետևում է, որ ΔABD և ΔCDB ունեն երկու հավասար կողմեր և դրանցով կազմված հավասար անկյուններ:

բ)Գտեք < ABC-ն, եթե < ADB = 44o
90 – 44 = 46
<ABC = 46o

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Երեք հատվածներ հատվում են նույն կետում: Գտի՛ր նկարը, որում ցույց է տրված եռանկյան բարձրությունը:

Երկրորդ եռանկյունը։

2)Գտիր, թե ո՞ր նկարում է տարված եռանկյան կիսորդը.

Երկրորդ եռանկյանը;

3)ABC եռանկյան մեջ AB=7սմ, BC=6սմ, AC=10 սմ։ Տարված են այդ եռանկյան AD, BE և CF միջնագծերը։ Գտեք AF, BD և CE հատվածների երկարությունները։
AF = AB : 2
7 : 2 = 3,5
AF = 3,5սմ
BD = BC : 2
6 : 2 = 3
BD = 3սմ
CE = AC : 2
10 : 2 = 5
CE = 5սմ

1. Տրված է ABC եռանկյունը, որում AN-ն ABC անկյան կիսորդն է: Հաշվել  BAC անկյունը, եթե ∠BAN=35°

<BAC = <BAN x 2
35 x 2 = 70
<BAC = 70°

2. ABC և MNK եռանկյունները հավասար են, ընդ որում՝ ∠A=∠M, ∠B=∠N, ∠C=∠K, AB=6, BC=7, AC=10: Գտնել MN-ը, NK-ն և MK-ն։ GEOGEBRA ծրագրի օգնությամբ գծել եռանկյունները։
   
   AB = MN
   MN = 6
   BC = NK
   NK = 7
   AC = MK
   MK = 10

3․ Որոշել BAC եռանկյան պարագիծը, եթե CF-ն միջնագիծ է և հայտնի է, որ  BC=60 դմ,  AF=35 դմ  և  AC=20 դմ:

Քանի որ AF = FB, AB = AF x 2
35 x 2 = 70
PBAC = (BC + AB + AC)
60 + 70 + 20 = 150
PBAC = 150դմ
4)ABC եռանկյան AD միջնագիծը շարունակված է BC-ի մյուս կողմում DE հատվածով, որը հավասար է AD-ին, իսկ E կետը միացված է C կետին։

ա)Ապացուցեք, որ եռանկյուն ABD = ECD
Քանի որ BD = DC, AD = DE, <BDA = <EDC որպես հակադիր անկյուններ։ Ուստի եռանկյուն ABD = ECD, ըստ եռանկյան հավասարության առաջին հայտանիշի։
բ)Գտեք <ACE-ն, եթե <ACD = 56o, <ABD = 40o
<A = 180 – 96o
<A = 84o
<A = <C = 84o

5)ABC եռանկյունում <A = 80o։ Տարված է ABC եռանկյան AM կիսորդը և ABM եռանկյան AK կիսորդը։ Գտեք BAK և KAC անկյունները։

<BAM = <MAC = 40o
<BAK = <BAM : 2
40 : 2 = 20
<BAK = 20o
<KAC = <KAM  + <MAC
40 + 20 = 60
<KAC = 60o

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

6)ABC եռանկյունում տարված է AK բարձրությունը։ Ինչպիսի՞ն է AKB անկյունը։

<AKB = 90o

7)ABC եռանկյունում <A = 66o, <B = 42o, <C = 72o: Տարված են AM, BN և CK կիսորդները։ Գտեք BAM, BCK և NBC անկյունները։

<BAM = <A : 2
66 : 2 = 33
<BAM = 33o
<BCK = 72 : 2
72 : 2 = 36
<BCK = 36o
<NBC = <B : 2
42 : 2 = 21
<NBC = 21o

Եթե մի եռանկյան կողմն ու նրան առընթեր երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին և նրան առընթեր երկու անկյուններին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

MN=PR

∡N=∡R

∡M=∡P

Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:

MN=PR

KN=TR

MK=PT

Առաջադրանքներ

1)Ապացուցեք, որ եռանկյուն ABC = CDE, եթե <ABC = <CED, BC = CE։

<ACB = <ECD որպես հակադիր անկյուններ, քանի որ BC = CE, այստեղից հետևում է որ եռ․ ABC = եռ․ ECD, ըստ երկրորդ հայտանիշի։

2)ABC եռանկյունում AB = 10սմ, <A = 40o, <B = 84o, իսկ MNK եռանկյունում MN = 10սմ,<M = 40o, <K = 84o։ Տեղի ունե՞ն եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի պայմանները ABC և MNK եռանկյունների համար։
Այո, քանի որ մի կողմը և դրան առընթեր անկյունները հավասար են։ Այս դեպքում AB = MN, <A = <M, <B = <K.

3)Նկարում տրված է <DBC = <DAC, BO = AO: Ապացուցեք, որ <C = <D և AC = BD։

Քանի որ <DOB = <AOC որպես հակադիր անկյուններ և BO = OA, հետևում է որ եռ․ BDO = եռ․ AOC, ստեղից էլ հետևում է, որ <C = <D և AC = BD։

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Նկարում <BAC = <ACD, <BCA = <CAD: Հավասա՞ր են ABC և ADC եռանկյունները։ Պատասխանը հիմնավորեք։

Քանի որ AC կողմը ընդհանուր է, <BAC = <ACD և <BCA = <CAD, ապա եռ․ABC = եռ․ ADC ըստ եռանկյան հավասարության երկրորդ հայտանիշի։

2)Նկարում AD = A1D1, <A = <A1, <BDC = <B1D1C1։ Ապացուցեք, որ եռանկյուն ABD = A1B1D1 :

Քանի որ <BDC = <B1D1C1, իսկ <ADB և <A1D1B1 անկյունները կից են, ապա <ADB = <A1D1B1: Այստեղից հետևում է, որ եռ․ABD = եռ․ A1B1D1 ըստ եռանկյան հավասարության երկրորդ հայտանիշի։
1)

Բերված եռանկյունները հավասար են ըստ՝

III-րդ հայտանիշի

I-ին հայտանիշի

հնարավոր չէ պարզել

II-րդ հայտանիշի

2)Տրված է DCBA ուղղանկյունը: Ըստ եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշի, հավասար են արդյո՞ք AOD և AOB եռանկյունները:

Ըստ եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշի իրենք հավասար են, քանի որ AD = CB, DO = OB, AO = OC:

3)Օգտագործելով նկարում բերված տեղեկությունները` գտիր LKN անկյան մեծությունը, եթե ∡LKM=31°-ի:

LKN = <LKM x 2
31° x 2 = 62°
<LKN = 62°

4)Տրված է, որ VT⊥TU,UT=TS

Գտի՛ր հավասար եռանկյունները:

եռ․VST = եռ․ VUT, քանի որ <VTU = <VTS, իրենք հավասար են 90°։

5)Նկարում AB=CD, BD=AC:Հավասա՞ր են ABC և DBC եռանկյունները։

Իրենք հավասար են ըստ եռանկյան հավասարության երրորդ հայտանիշի քանի որ AB = CD, AC = BD, իսկ BC կողմը ընդհանուր է։

6)Հավասար պարագծեր ունեցող ABC և A1B1C1 եռանկյուններում AB=A1B1 AC=A1C1: Ապացուցեք, որ ΔABC = ΔA1B1C1 :
ΔABC = ΔA1B1C1 ըստ եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշի, քանի որ AB=A1B1 և AC=A1C1, իսկ եռանկյունների պարագծերը հավասար են, ապա BC = B1C1:

1. Ներկայացրո՛ւ: Ինչո՞վ էր պայմանավորված Արտավազդ II արքայի որդեգրած չեզոքության քաղաքականությունը:
Դա պայմանավորված էր Հռոմի և Պարթևստանի միջև հարաբերություններում։
2. Վերլուծի՛ր: Որքանո՞վ էր պարթևական արշավանքի երթուղու վերաբերյալ Մարկուս Կրասսուսին Արտավազդ II-ի արած առաջարկը օգտակար Հայաստանի համար: Ինչո՞ւ:
Այն օգտակար էր նրանով, որ հայերը կարող էին հաստատել լավ հարաբերություններ Հռոմի հետ։ Նաև լինեին պաշտպանված նրանից, որ Հռոմը չհարձակվի նրանց վրա։
3. Պարզաբանի՛ր: Ի՞նչ դեր ունեցավ հայ-հռոմեական հարաբերություններում Անտոնիուսի պարթևական արշավանքը, ինչո՞ւ:
Անտոնիուսի պարթևական արշավանքը հայ-հռոմեական հարաբերություններում նշանավոր դեր ունեցավ, քանի որ հռոմեացիների պարտության համար նա մեղադրեց  Արտավազդին։
4. Ինչո՞ւ էր Հռոմը շահագրգիռ պարթևական արշավանքներով։ Ո՞րն էր այդ թագավորությունից եկող վտանգը:
Հռոմը փորձում էր կանխել Պարթևների տարածքային ընդլայնումը, որպեսզի պահպանի իր դիրքերը։
5. Ինչո՞ւ հնարավոր չէր Հայաստանի տարածաշրջանային կարևորությունը շեշտված հակահռոմեական կամ հակապարթևական կեցվածքով վերականգնելը:
Քանի որ Հայաստանը գտնվում էր երկու մեծ տերությունների՝ Հռոմի և Պարթևստանի միջև, բացահայտ կողմնորոշումը կարող էր վտանգել իր անկախությունը։
6. Որո՞նք էին Արտաշեսյան թագավորության անկման ներքին և արտաքին պատճառները:
Արտաշեսյան թագավորության անկման ներքին պատճառն այն էր, որ Տիգրան IV-ի մահից հետո Էրատոն չբարձրացավ գահ։ Արտաքին պատճառն էր ուժեղ երկրների ազդեցությունը Հայաստանի վրա։
7. Պատկերացրու, որ դու Արտաշես II արքայի խորհրդականն ես, որն արքային պետք է համոզի հրաժարվել շեշտված հակահռոմեական քաղաքականությունից կամ ծայրահեղ պարթևասիրությունից: Բացատրի՛ր և հիմնավորիր քո դիրքորոշման տնտեսական և ռազմավարական կարևորությունը: Ստեղծի՛ր գովազդային պաստառ, որտեղ այդ ամենը ներկայացված կլինի նաև պատկերներով։

Ի՞նչ ես կարծում, քո նախաձեռնությանը ինչպե՞ս կարձագանքեր տոհմիկ ավագանին: Ինչո՞ւ:
Արտաշես II արքային ես կներկայացնեի հետևյալը։ Որպես տնտեսական կարևորություն ես կասեի, որ Հռոմի և Պարթևստանի հետ բարեկամական հարաբերություններն արարում են Հայաստանին առևտրային ուղիների կենտրոն՝ ապահովելով տնտեսական բարգավաճում։
Որպես ռազմական կարևորություն ես կասեի, որ հակասությունների սահմանումը սպառնում է Հայաստանի անկախությանը։ Բարեկամական դիրքորոշումներն ապահովում են անվտանգություն՝ խուսափելով պատերազմներից։
Տոհմիկ ավագանին իմ կարծիքով կարող է համաձայն չլինել, քանի որ նրանց համար ավանդական քաղաքականությունը կարևոր է։ Բայց եթե ներկայացվեն տնտեսական ու ռազմավարական համապարփակ հիմնավորումներ, նրանք կարող են վերանայել իրենց կարծիքը։

Հարցեր և առաջադրանքներ

1. Ի՞նչ առանձնահատկություն ուներ Արտաշեսյան հելլենիստական Հայաստանի մշակույթը: Ինչպիսի՞ փոփոխությունների ենթարկվեցին արվեստի տարբեր ոլորտները:
Հայկական հելլենիզմը, սակայն, ինչպես բոլոր մյուս հելլենիստական մշակույթները, ևս զարգանում էր ինքնուրույն ուղիով, այն է՝ տեղական ավանդույթի ինքնատիպ հատկանիշների պահպանումով։
Հելլենիստական Հայաստանում զարգացում ապրեց քանդակագործությունը և խեցեգործությունը։
2. Ինչո՞վ էր պայմանավորված Արտաշեսյան Հայաստանում քրմապետի, հետևաբար նաև քրմական դասի ազդեցության թուլացումը։
Արտաքին հարձակումներից պաշտպանելու համար Հայաստանը բաժանված էր սահմանապահ չորս խոշոր զինվորական շրջանների՝ բդեշխությունների, որոնց զորահրամանատարն էր բդեշխը։ Եթե նախկինում քրմապետն էր տերության երկրորդ մարդը, ապա այժմ, մանավանդ Տիգրան Մեծի ժամանակներից, նա դուրս է մղվում «մեծ բդեշխի» կողմից։
3. Բացատրի՛ր: Ի՞նչ նշանակություն ուներ քաղաքաշինությունը Արտաշեսյան Հայաստանում:
Դրանք կարևոր նշանակություն ունեին, քանի որ դրանք մի կողմից ենթարկվում էին կենտրոնական իշխանությանը, մյուս կողմից ունեին ներքին ինքնավարություն։
4. Ինչպե՞ս էին Արտաշեսյան արքաներն Աշխարհաժողովի և Արտաշատի հրապարակի միջոցով հավասարակշռում իրենց իշխանությունը: Արդյո՞ք միշտ էր դա հնարավոր:
Արքան երկիրը կառավարում էր արքունիքի և արքունի գործակալների միջոցով։ Արքունիքը կազմված էր տոհմիկ և ծառայողական ավագանուց։ Տոհմիկ ավագանու քաղաքական ազդեցության կարևորագույն օրգանը սրբազան Նպատ լեռան լանջերին պարբերաբար հրավիրվող Աշխարհաժողովն էր, ծառայողական ավագանունը՝ մայրաքաղաք Արտաշատի հրապարակը:
5. Ինչո՞վ կբացատրես այն, որ Արտաշես I-ի կառավարման տարիներին դեռևս գերակայող էր արամեերենը, մինչդեռ Տիգրան Մեծի ժամանակ՝ հունարենը:
Արտաշես I-ի կառավարման տարիներին դեռևս գերակայող էր արամեերենը, քանի որ  պետությունն այդպես հակադրվում էր հելլենիստական Սելևկյան տերությանը։
6. Ինչպե՞ս կարող էին քաղաքներին արքաների տված արտոնությունները խթանել առևտուրն ու արհեստները:
Քաղաքներին տրված արտոնությունների միջոցով արքաները ձգտում էին զարկ տալ առևտրին ու արհեստներին, ինչպես նաև իրենց համար սոցիալական և տնտեսական հենարան ստեղծել։ Այդպես նրանք կկարողանային թե՛ կանխել ներքին սոցիալական ընդվզումները, թե՛ պայքարել արտաքին թշնամու դեմ:
7. Պատկերացրու, որ դու Արտավազդ II արքան ես և Տիգրանակերտի թատրոնի համար պետք է դրամա գրես ինչ-որ թեմայով՝ նախնիների քաջագործության, հայ-պոնտական կամ հայ-պարթևական հարաբերությունների, աստվածների կյանքի կամ այլ: Ո՞ր թեմայով կնախընտրեիր գրել և ինչո՞ւ:
Ես կնախընտրեի գրել հայերի հարաբերությունների պոնտերի, հռոմեացիների և պարթևների նկատմամբ, քանի որ իմ կարծիքով դա հետաքրքիր կլիներ։